Diese
SCF Bauteile gibt es seit den 80er Jahren. Sie sind aber, seit es
DSP’s gibt, etwas aus der Mode gekommen. Es handelt sich im
Gegensatz zu analogen Filtern um zeitdiskrete Filter mit analog
abgetasteter Momentanamplitude, sprich es werden analoge Werte mit 50
oder 100 Zeitpunkten je Periode der Grenzfrequenz des Filters
verarbeitet. Ein typ. Produkt ist z.B. das LMF 100 von NS, das sehr
komplexe Aufgaben lösen kann. https://www.elektronik-kompendium.de/public/schaerer/FILES/lmf100.pdf Bisher
hat mich wenig interessiert, wie das im Detail funktioniert. Man hat ja
im Beruf oft nicht die Zeit sich in branchenfremde Technologien
einzuarbeiten. Aber ich habe jetzt genug Zeit und bin fasziniert, siehe
den Untertitel dieses Berichts. Beginnen wir also einfach, mit einem
RC-Tiefpassfilter:
Der Umschalter wird mit fclock umgeschaltet
Jetzt
gilt es zu beweisen, dass beide Schaltungen, bis auf die Abtastung,
ident sind und die gleiche Tiefpassübertragungsfunktion haben,
egal ob die Eingangsspannung eine Wechselspannung oder eine
Sprungfunktion (im Fall einer Kondensatorauf-entladung) ist.
Eins
noch vorweg: Es fließen keine unendlich hohen Ströme im
Umschalter, da jede Quelle einen endlichen Innenwiderstand hat. Es ist
nur wichtig zu wissen, dass die Lade- und Entladezeitkonstante etwa 10
mal kleiner ist als die Periodendauer der Clockfrequenz. Das wird
nirgendwo erwähnt, ist aber für das Verständnis nicht
unwesentlich. Es ist im Datenblatt ein wenig versteckt als max.
Clockfrequenz. Bei ~50% Tastverhältnis der Clock muss ja Cs den
Endwert der Kondensator-Auf-/Entladung erreichen, was ja, wie bekannt,
mit 5 Zeitkonstanten angenommen werden kann.
Die
typischen Werte des Verhältnisses von C / Cs sind 25, 50 oder 100.
Wobei die Hersteller versuchen die C’s so klein wie möglich
zu machen, da dies Chipfläche = Kosten bedeutet. So ist also Cs
nur einige pF groß, nehmen wir Cs=4 pF und C=200 pF an.
Was
ist denn eigentlich „Strom“? Na ja, er besteht aus bewegten
Elektronen wie wir wissen. Bei Wechselstrom zittern sie nur hin und
her. Ein Elektron hat die Elementarladung 1,602x 10-¹9 As oder
Coulomb. Fließt also ein Strom von 1A, so bewegt sich jede
Sekunde 1 Coulomb, was 1/1,602x 10-¹9 Elektronen entspricht,
durch die Leitung oder z.B ein Amperemeter um „es“
anzuzeigen. Ein Strom von 1 picoA sind immer noch über 6 mio
Elektronen / Sekunde. Nebenbei sieht man, dass es in der Natur
eigentlich nicht richtig analog zugeht, es ist nur die Stufung so
klein, dass wir es als „analog“ einordnen. 1A entspricht
etwa einer Auflösung von 64 bit! Überraschend, oder? Strom
ist also gleichzusetzen mit bewegten Ladungen = Elektronen je
Sekunde.Wir kommen jetzt der Sache schon näher. Ladungen
können auch in Kondensatoren gespeichert werden. Ein C kann also
irgendwo aufgeladen werden und wo anders seine Ladung wieder abgeben.
Verzeihen
Sie bitte, wenn ich jetzt das „Wassermodell“ bemühe,
aber es passt recht gut. Man kann 2 Gefäße Uin und C
über eine Rohrleitung verschiedenenen Durchmessers verbinden. Bei
unterschiedlichen Wasserständen wird der Ausgleich bei einer
dünnen Leitung länger dauern.
Nehmen wir an, dass 1 l /sec kontinuierlich fließen kann, o.k.
Man
kann aber auch alle 10 sec einen Eimer mit 10 l umleeren. Es hat den
gleichen Effekt, nur die Wassermenge ist nun eindeutig
„zeitdiskretisiert“ im Vergleich zur kontinuierlich
arbeiteten Leitung.
So, das war das Prinzip, jetzt wollen wir
einmal den „Ersatzwiderstand“ von Cs ausrechnen.
Bekannt ist ja die Beziehung C x U = I x t. Im Schaltbild
links die Quelle mit Ui und rechts der Kondensator C, der die Spannung
Uc habe. Der Kondensator Cs nimmt die Spannung Ui an, wenn der Schalter
auf links steht und schließlich Uc wenn er rechts steht. Cs
speichert oder gibt Ladungen ab, aber die Spannung an Cs kann sich
augenscheinlich nur zwischen Ui und Uc bewegen.
Bei einer
Umlegung des Schalters von links nach rechts wird also eine bestimmte
Ladungsmenge in der Zeit t bewegt. Die Anzahl der Umschaltungen je
Sekunde entspricht der Schaltfrequenz fclock.
Die Beziehung
ist fclock = 1 /
t
Man kann also die Gleichung umformen in Cs (ui
– uc) = i / fclock
oder (ui – uc) / i = 1 /Cs .
fclock
Nun, auf der linken Seite der Gleichung steht Spannung/Strom, ist doch das Ohm’sche Gesetz! (ui-uc)/i = R also entspricht 1/Cs . fclock einem Widerstand
Das
war’s schon: Der Äquivalentwiderstand des Kondensators
Cs ist also R = 1/Cs . fclock . Man sieht sofort,
dass der Widerstand frequenzabhängig ist. Je höher die
Clockfrequenz umso kleiner der Widerstand. Logisch es werden ja mehr
Ladungen transportiert, d.h mehr Eimer
umgeleert.
Ein typ. Wert: Cs=4 pF und fclock =100 kHz Räquiv = 2.5 MOhm
Der Kondensator Cs hat also nur zusammen mit dem Umschalter die Wirkung eines Widerstandes. Gehen
wir nun zum Tiefpass zurück: Es ist bekannt die Grenzfrequenz mit
fg = 1/2Pi
RC
Für R setzen wir den Äquivalentwiderstand fg = fclock Cs/C /2Pi Man
kann also die Grenzfrequenz des Tiefpasses mit der Clockfrequenz
verändern. Wichtig für die IC Hersteller ist noch, dass in
der Formel das Verhältnis von Cs zu C steht. Man kann im
Herstellungsprozeß die Kapazität nie genau hinbekommen, aber
wohl das Verhältnis sehr genau einhalten. Es kommt, wie gezeigt,
nur auf das Verhältnis an und im aktuellen Fall mit 4 pF und 200pF
ist die Grenzfrequenz des Filters immer 50 mal kleiner als die
Clockfrequenz. Dieses leichte Ändern der Filterkennwerte ist u.a. ein großer Vorteil der SwitchedCapacitorFilter.
Es
folgt noch ein Diagramm mit der Kondensatoraufladung Ui ändert
sich von 0 auf 1V und die Spannung an C ist die bekannte
Exponentialkurve. Einmal analog und dann zeitdiskret gerechnet. Die
zeitdiskrete Variante lässt sich mit Grundschulmathematik
berechnen! Dies tritt auf bei einem Rechtecksignal als Eingangsspannung.
Noch
schnell eine Quizfrage: Was passiert, wenn bei der Schaltung mit dem
echten Widerstand dieser noch zusätzlich mit einem Schalter, mit
variablen ein/aus Verhältnis Ui und C verbindet? Ändert sich
dann auch die Filtergrenzfrequenz ? Ist es dann vielleicht ein SRF ?
Man
sieht die Identität der analogen RC-Glied Aufladung und der
zeitdiskreten „Eimervariante“, sprich
SwitchedCapacitorFilter. Die Zeitachse endet bei 2 Zeitkonstanten. Die
Diagrammfunktion von Excel lässt es leider nicht zu die
stufenförmige Aufladekurve darzustellen, oder ich hab’s
nicht gefunden wie es geht, bzw. die vielen Punkte der Kurve lassen
sich mit der Strichstärke nicht mehr darstellen. Ich hoffe es hat Sie interessiert und sie haben einen kleinen Einblick in diese Technologie gewonnen.
